Exercícios de Geometria Descritiva 11º e 12º anos

Exercícios de Geometria Descritiva 11º e 12º anos. Alguns exercícios poderão apresentar um grau de dificuldade superior aquele que encontramos nos manuais, o objectivo é fomentar  o raciocínio do aluno para que fique apto a resolver qualquer problema (dentro do âmbito do programa).

Exercícios de Geometria Descritiva 11º e 12º anos

Exercício 36 – Tema: Ângulos Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções da recta r, sabendo que esta faz um ângulo de 60º com o plano α.

Dados:
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços fazem ângulos de 30º (a.d.)
e de 45º (a.d.) com este eixo, respectivamente o traço frontal e o traço horizontal.
– a recta r contém os pontos R (2;6;6) e S;
– o ponto S situa-se no 1º diedro, tem 2,5 de cota e pertence ao plano α.

Exercício 35 – Tema: Distâncias Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções do ponto P, sabendo que este dista 5 cm dos pontos A e B. Represente, também, as projecções dos segmentos de recta [AP] e [BP].

Dados:
A (4; 3; 5); B (-2; 2; 2);
– o ponto P situa-se no 1º diedro e tem 3 cm de cota.

Exercício 34 – Tema: Poliedros

Represente, em dupla projecção ortogonal, as projecções de uma pirâmide triangular oblíqua de base regular.

Dados:
– a base está contida num plano que faz ângulos iguais com os três planos de projecção (xy, xz e yz);
– a circunferência circunscrita à base tem 3,5 cm de raio, o seu centro tem 4 cm de abcissa e este dista o
mesmo em relação ao três planos de projecção (xy, xz e yz).
– cada uma das arestas da base é ortogonal um dos eixos (x, y e z);
– a base é visível nas três projecções;
V (0; 1; 0)

Exercício 33 – Tema: Poliedros Represente as projecções de uma pirâmide triangular regular.

Dados:
– a base está contida num plano oblíquo ortogonal ao β13;
– este plano intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de
45º (a.d.) com este eixo;
– um dos vértices da base, o de maior cota, pertence ao plano frontal de projecção;
– as arestas laterais formam ângulos de 70º com o plano da base;
V (4; 7; 8) é o vértice principal da pirâmide.


E
xercício 32 – Tema: Distâncias Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância entre os pontos R e S, situados no 1º diedro. – o ponto R resulta da intersecção de três planos – θ,α e β;
– o ponto S tem 9 cm de afastamento e abcissa igual à do ponto R;
– o plano θ é horizontal e tem 3 cm de cota;
– o plano α é de topo, intersecta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 45º (a.d.) com o
plano horizontal de projecção;
– o plano β está definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (-6;-5; 5). O traço frontal intersecta o eixo x
num ponto com 1 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 45º (a.d.);
– os pontos R e S são simétricos em relação a um plano de rampa que forma um diedro de 45º com o plano
horizontal de projecção.

Dados:

Exercício 31 – Tema: Paralelismo

Determine os traços dos planos α e β, paralelos entre si.

Dados:

– o plano α contém a recta p definida pelos pontos A (0; -7; 7) e B (0; 6; -2);
– o plano β contém os pontos R(0; 2; -2) e S (-5; -3; 3).

 

Exercício 30 – Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por um paralelepípedo rectângulo e por um prisma triangular recto. Todos os vértices têm coordenadas positivas.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico: isometria

Dados:
– cada sólido tem uma face contida no plano coordenado xy;
– as bases do prisma triangular são triângulos rectângulos e estão contidas em planos de perfil;
– o paralelepípedo tem duas faces frontais;
– os pontos  D (8; 4; 2) e E (0; 0; 2) são extremos de uma diagonal de uma das faces do paralelepípedo;
– os pontos F (3; 4; 2) e G (0; 10; 0) são extremos de uma diagonal de uma das faces do prisma.

Exercício 29 – Tema: Sólidos compostos

Represente a projecção axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
– cavaleira;
– o eixo axonométrico x faz um ângulo de 155º com o eixo axonométrico z;
Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima,
e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Dados:
– um dos prisma é regular e tem uma face contida em cada um dos planos coordenados;
R (3; 3; 7) é um vértice do prisma;
– o outro prisma é oblíquo e tem as bases de perfil (paralelas ao plano coordenado yz);
– o segmento de recta [RS] é uma das diagonais da base de menor abcissa;
S (3; 0; 4);
– a diagonal interna (espacial) do prisma oblíquo que tem um dos extremos em R é projectante

Exercício 28 – Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por um prisma quadrangular oblíquo e por um prisma triangular regular.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
– militar (planométrica);
– o eixo axonométrico x faz um ângulo de 125º com o eixo axonométrico z;
– Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima,
e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
– as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.

Dados:
– os pontos R (0; 8; 4) e S (4; 8; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma triangular;
– este prisma tem uma face lateral contida no plano coordenado xy;
– as bases do prisma quadrangular têm 4 cm de lado e são horizontais;
– a aresta lateral de maior afastamento e de menor abcissa deste prisma pertence ao plano coordenado yz,
faz um ângulo de 60º com o plano coordenado xy e o ponto R é o seu ponto médio.
– a aresta de menor afastamento do  sólido composto é paralela ao eixo x e tem cota nula. Exercício 27 – Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por uma pirâmide triangular e por um prisma triangular regular. Todos os vértices têm coordenadas positivas.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico: isometria

Dados:

– uma das bases do prisma está contida no plano coordenado xy;
– as faces laterais do prisma são quadrados;
– o segmento de recta [MN] é uma das arestas da base superior do prisma;
M tem 6 cm de abcissa e pertence ao plano coordenado xz; N tem 4 cm de afastamento;
– a base da pirâmide coincide com a base superior do prisma;
– uma das faces laterais da pirâmide, [MNV],é equilátera e paralela ao plano axonométrico.

Exercício 26 – Tema: Sombras de Sólidos

Represente as projecções de um cone oblíquo situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção.

Dados:

– a sombra do cone no plano horizontal de projecção é um círculo com 4 cm de raio e tem centro no ponto C (-4; -2; 0);
– a base do cone é tangente ao plano frontal de projecção e está contida num plano projectante frontal;
– uma, e só uma, geratriz do cone tem a direcção da luz;
– o vértice do cone pertence ao eixo x e tem abcissa superior à do ponto C.

 Exercício 25 – Tema: Secções Planas

Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida numa esfera por um plano projectante frontal. Considere o sólido mais próximo do plano horizontal e projecção.

Dados:

– os pontos A (2; 4; 8), B (-1; 3; 5) e C (8; 4) pertencem à circunferência de intersecção do plano secante com a superfície
esférica;
– o centro da esfera tem 5 cm de cota.

Exercício 24 – Tema: Distâncias

Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α.

Dados:

– ambos os traços, nos planos de projecção, do plano α fazem ângulos de 80º (a.d.) com o eixo x;
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula;
P (4; 7; 9)

Exercício 23 – Tema: Intersecções, Paralelismo e Perpendicularidade

Represente as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano α.

Dados:– a recta r é paralela aos planos θ e β13 e contém o ponto P(-3; 7; 5);
– o plano θ está definido por três pontos: A(-3; 5; 3), B(-3; -3; 8) e C(6; -3; -4);
– o plano α é ortogonal à recta r e contém o ponto A.

Exercício 22 – Tema: Axonometrias

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta  por  duas pirâmides quadrangulares oblíquas. O sólido fica situado no 1º triedro.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico: isometria

Dados das pirâmides:

o segmento de recta [MN] é uma aresta lateral comum às duas pirâmides, M(4; 1; 0) e N(4; 1; 8);
o ponto M é o vértice principal de uma das pirâmides e um dos vértices da base da outra pirâmide;
– a aresta lateral [MN]  é perpendicular às bases das pirâmides;
ambas as bases têm 4 cm de lado;
– cada pirâmide tem uma face lateral paralela ao plano xz..
– a aresta de menor abcissa é uma das arestas de maior cota, do sólido composto.

Exercício 21 – Tema: Axonometrias
 
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma quadrangular regular.
O sólido fica situado no 1º triedro.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico: anisometria
xÔz=125°; yÔz=115°

Prisma quadrangular regular:
– uma das bases está assente no plano xy;
– uma das diagonais internas (espaciais) é perpendicular ao plano axonométrico e contém o vértice A (3; 3; 0);
– as bases têm 5 cm de lado.

Exercício 19 – Tema: Secções Planas

Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro pelo β13.
Considere o sólido compreendido entre o plano secante e o plano horizontal de projecção.

Dados:
A (6; 4; 7) é um dos 4 vértices do tetraedro;
– uma das faces está contida no plano horizontal de projecção;
– a aresta de menor afastamento é fronto-horizontal.

 

Exercício 18 – Tema: Esfera
 
Represente o contorno aparente de uma esfera, em ambas as projecções (projecção horizontal e projecção frontal).

Dados:

– a superfície esférica está definida por 4 pontos: A (2; 4; 3), B (-1; 3; 3), C (-3; 7; 3) e D (1; 8; 8).

Exercício 17 – Tema: Posição relativa de rectas
 
Determine as projecções de uma recta n de nível (horizontal) com 2 cm de cota e concorrente com as rectas de perfil p e p’, sem recorrer a processos geométricos auxiliares ( rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção).

Dados:
– a recta p contém os pontos R (0; 0; 0) e S (7;8);
– a recta p’ contém os pontos M (-4; 6; 1) e N (-2; 7).

 

Exercício 16 – Tema: Projecções de poliedros
 
Represente as projecções de um cubo, situado no 1º diedro.

Dados:
[AC] é uma diagonal de uma das faces do cubo;
A (4; 3; 2), C pertence ao plano frontal de projecção;
uma das diagonais internas (espaciais) do cubo [AG] é vertical;
– o cubo tem 4 arestas de perfil.

Exercício 15 – Tema: Projecções de poliedros
 
Represente as projecções de uma pirâmide pentagonal regular.

Dados:
– a base está contida no plano oblíquo α;
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projecção, fazem
ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
– o lado de maior cota do pentágono é horizontal e o vértice que lhe é oposto pertence ao plano horizontal de projecção;
– o vértice principal da pirâmide tem -4 cm de abcissa e pertence ao plano horizontal de projecção;
– a pirâmide tem 4 cm de altura.

 

Exercício 14 – Tema: Perpendicularidade
 
Determine as projecções das rectas r, s e t, concorrentes entre si no ponto P.

Dados:
– a recta r passa pelo ponto R (2; 2; 2); a recta s passa pelo ponto S (-4; 7; 2); a recta t passa pelo ponto T (-4; 0: 4);
– as rectas são perpendiculares entre si;
– o ponto P tem maior cota do que os pontos R e S.

 

Exercício 13 – Tema: Paralelismo

Determine as projecções da recta r paralela ao plano α.

Dados:
– o plano α está definida por uma das suas rectas de maior inclinação – recta i;
– a recta i está contida no β24, intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e a sua projecção frontal faz um
ângulo de 50º com o eixo x (a.e.);
– a recta r é paralela ao β13 e contém o ponto R (-2; 5; 4).


Exercício 12 –
Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r.

Dados:
– os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa,
o traço horizontal e o traço frontal respectivamente;
– as projecções da recta r fazem ângulos de 80º (a.d.) e de 70º (a.e.) com o eixo, a projecção frontal e a projecção
horizontal respectivamente.
– o plano θ contém o ponto P (2; 7; 5).

Exercício 11 – Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r.

Dados:
– os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa,
o traço horizontal e o traço frontal respectivamente;
– a recta r é paralela ao β24 e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 80º (a.e.) com o eixo;
– o plano θ contém o ponto A (0; 7; 5)

Exercício 10 – Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano ω ortogonal aos planos θ e β13.

Dados:
– o plano θ intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula e os seus traços fazem com este eixo ângulos de 80º (a.e.)
e de 45º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
– o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa.

Exercício 09 – Tema: Paralelismo

Determine os traços do plano de rampa θ paralelo à recta de perfil p, sem recorrer a processos geométricos auxiliares ( rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção).

Dados:
– o plano θ contém o ponto P (-4; 3; 4)
– a recta de perfil p está definida pelos pontos A (2; -2; 1) e B (3; 3).

Exercício 08 – Tema: Paralelismo

Determine as projecções da recta r paralela ao plano ω.

Dados:
– o plano ω cruza o eixo num ponto com 3 cm de abcissa está definido pelos seus traços;
– os traços fazem com o eixo x ângulos de 45º (a.d.) e de 70º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
– a recta r é concorrente com o eixo num ponto com -3 cm de abcissa e a sua projecção horizontal faz um ângulo
de 45º (a.d.).

 

Exercício 07– Tema: Paralelismo e Intersecções

Determine os traços do plano ω paralelo ao plano θ.

Dados:
– o plano θ está definido pelas rectas r e s;
– a recta r contém os pontos R (-4; -2; -3); S (2; 0; 0);
– as projecções da recta s são coincidentes com as projecções contrárias da recta r;
– o plano ω contém o ponto P (-4; 2; 2).

 

Exercício 06 – Tema: Sombras de Figuras Planas

Numa folha de formato A4 (ao alto), represente as projecções de um triângulo [RST]
Determine a sombra projectada, nos planos de projecção, pelo triângulo.

Utilize a direcção luminosa convencional.

Dados:
R (9; 2; 4); S (2; 14; 0); T (-3; 2; 10).

 

Exercício 05 – Tema: Problemas Métricos (distâncias)

Determine as projecções do ponto P sabendo que a distância deste ponto aos pontos A, B e C é a mesma.

Dados:
A (5; 0; 0); B (0; -1; 6); C (-2; 6; 1).
– o ponto P tem cota nula.

 

Exercício 04 – Tema: Problemas Métricos (ângulos)

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre uma recta vertical e o plano θ.

Dados:
– o plano θ está definido pelos pontos A,B e C.
A (2; 0; 0); B (2; 6; 2); C (-6; -2; -6).

 

Exercício 03 – Tema: Projecções de Polígonos

Determinar as projecções de um rectângulo  [ABCD] contido num plano de rampa.

Dados:
– o traço horizontal do plano tem 4 cm de afastamento;
– a diagonal [AC] é de perfil, mede 8 cm e os vértices A e C pertencem aos planos de projecção, respectivamente,
plano horizontal e plano frontal;
B é o vértice mais à direita e tem menor cota do que o vértice D;
– os lados maiores são duplos dos lados menores.

 

Exercício 02 – Tema: Perpendicularidade

Considere o plano θ ortogonal ao β1.3. Determine os traços do plano α ortogonal
ao plano θ.

Dados
– os pontos A (4; 4; 3) e B (-1; 1; -5) definem a recta r que pertence ao plano θ;
– os planos θ e α intersectam o eixo x no mesmo ponto;
– o traço horizontal do plano α  faz um ângulo de 45º (a.e) com o eixo x.

Exercício 01 – Tema: Intersecções e Paralelismo

Considere os planos ω oblíquo e θ de topo. Determine os traços do plano α paralelo à recta i de intersecção dos
planos ω e θ.

Dados
– o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa;
– os traços do plano ω fazem ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.) com o eixo x, respectivamente,
o traço frontal e otraço horizontal;
– o plano θ intersecta o eixo x num ponto com -8 cm de abcissa e faz um diedro de 30º (a.e.)
com o plano horizontal de projecção;
– o plano α contém o ponto P (-2; 0; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.d.) com o eixo x.

Exercícios da Autoria de : Elísio Silva
Site: http://www.gd.elisiosilva.com/

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