Geometria Descritiva 10º e 11º anos – Exercícios resolvidos PARTE 2

PARTE 2 de um conjunto de exercícios resolvidos, de Geometria Descritiva, para os 10º e 11º anos com enunciados de Elísio Silva e resoluções feitas pelas próprios alunos.

Exercícios de Geometria Descritiva 11º e 12º anos

Os exercícios foram apresentados como desafios, pelo que alguns apresentam um grau de dificuldade elevado, considerando que são dirigidos aos alunos do ensino secundário, encontrando-se diferenciados pelas seguintes matérias curriculares:

Nesta PARTE 2 teremos exercícios sobre Perpendicularidade, Problemas métricos – distâncias, Problemas métricos – Ângulos, Secções, Sombras, Axonometrias ortogonais e Axonometrias oblíquas.

As resoluções propostas por alunos, encontram-se imediatamente abaixo do exercício, sob a forma de imagem.

Geometria Descritiva 10º e 11º anos – Exercícios resolvidos e Propostas de Resolução

PERPENDICULARIDADE

Exercícios 29
Representa os traços, nos planos de projeção, do plano α perpendicular aos planos β θ sem recorrer a processos geométricos auxiliares (terceira projeção, rotações/rebatimentos e mudança do diedro de projeção). 
Dados
– o plano α interseta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa;
– o plano β é passante e contém o ponto
P (-5; 5; 3);
– o plano θ está definido pelos pontos A (8; -2; 6),B (-9; 4; -3) e (8; -3; 4).

Exercícios 30
Representa os traços nos planos de projecção dos planos θ α, sabendo que são perpendiculares entre si.
Dados
– o traço frontal do plano θ   intersecta o eixo x num com 5 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 40º (a.d.);
– o plano α contém a recta r. Esta recta está contida no β24, a sua projecção horizontal faz um ângulo de 40º (a.e.) e intersecta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa.
–  o plano θ é paralelo à recta r.

Exercícios 31
Determine as projecções das rectas rs et, concorrentes entre si no ponto P
Dados: 
– a recta r passa pelo ponto R (2; 2; 2); a recta passa pelo ponto S (-4; 7; 2); a recta passa pelo ponto T (-4; 0: 4); 
– as rectas são perpendiculares entre si;
– o ponto P tem maior cota do que os pontos R S.

Exercícios 32
Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r.
Dados: 
– os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa, o traço horizontal e o traço frontal respectivamente; 
– as projecções da recta r fazem ângulos de 80º (a.d.) e de 70º (a.e.) com o eixo, a projecção frontal e a projecção horizontal respectivamente. 
– o plano θ contém o ponto P (2; 7; 5). 

Exercícios 33
Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r
Dados: 
– os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa, o traço horizontal e o traço frontal respectivamente; 
– a recta r é paralela ao β24 e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 80º (a.e.) com o eixo; 
– o plano θ contém o ponto A (0; 7; 5).

Exercícios 34
Determine os traços nos planos de projecção do plano ω ortogonal aos planosθ e β13. 
Dados:
– o plano θ intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula e os seus traços fazem com este eixo ângulos de 80º (a.e.) e de 45º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal; 
– o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa. 

Exercícios 35
Considere o plano θ ortogonal ao β1.3. Determine os traços do plano α ortogonal ao plano θ
Dados: 
– os pontos A (4; 4; 3) e B (-1; 1; -5) definem a recta r que pertence ao plano θ
– os planos θ α intersectam o eixo x no mesmo ponto; 
– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45º (a.e) com o eixo x.

Problemas métricos – DISTÂNCIAS

Exercícios 36
Representa a recta r sabendo que esta dista 6 cm do ponto P (-5; 5; 6).
Dados
– a projecção horizontal da recta intersecta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 55° (a.e.);
– o traço horizontal da recta r tem 7 cm de afastamento; 
– o traço frontal da recta r tem cota inferior à do ponto P.

Exercícios 37
Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções do ponto P, sabendo que este dista 5 cm dos pontos A B. Represente, também, as projecções dos segmentos de recta [AP] e [BP].Dados: 
– A (4; 3; 5); B (-2; 2; 2); 
– o ponto P situa-se no 1º diedro e tem 3 cm de cota. 

Exercícios 38 
Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância entre os pontos R S, situados no 1º diedro. 
Dados: 
– o ponto R resulta da intersecção de três planos –θ,α e β
– o ponto S tem 9 cm de afastamento e abcissa igual à do ponto R;
– o plano θ é horizontal e tem 3 cm de cota; 
– o plano α é de topo, intersecta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 45º (a.d.) com o plano horizontal de projecção;
– o plano β está definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (-6;-5; 5). O traço frontal intersecta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 45º (a.d.); 
– os pontos R S são simétricos em relação a um plano de rampa que forma um diedro de 45º com o plano horizontal de projecção.

Exercícios 39
Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α
Dados
– ambos os traços, nos planos de projecção, do plano α fazem ângulos de 80º (a.d.) com o eixo x; 
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula; 
– P (4; 7; 9).  

Exercícios 40
Determine as projecções do ponto Psabendo que a distância deste ponto aos pontos AB e é a mesma. 
Dados: 
– A (5; 0; 0); B (0; -1; 6); C (-2; 6; 1).
– o ponto P tem cota nula.

Problemas métricos – ÂNGULOS

Exercícios 41
Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções da recta r, sabendo que esta faz um ângulo de 60º com o plano α.
Dados:
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços fazem ângulos de 30º (a.d.) e de 45º (a.d.) com este eixo, respectivamente o traço e o traço horizontal;
– a recta r contém os pontos R (2;6;6) e S;
– o ponto S situa-se no 1º diedro, tem 2,5 de cota e pertence ao plano α.

Exercícios 42
Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre uma recta vertical e o plano θ
Dados
– o plano θ está definido pelos pontos ABe C.
– A (2; 0; 0); B (2; 6; 2); C (-6; -2; -6).

SECÇÕES

Exercícios 43
Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida numa esfera por um plano projectante frontal. Considere o sólido mais próximo do plano horizontal e projecção. 
Dados: 
– os pontos A (2; 4; 8), B (-1; 3; 5) e C (8; 4) pertencem à circunferência de intersecção do plano secante com a superfície esférica; Rui Silva 
– o centro da esfera tem 5 cm de cota.

Exercícios 44
Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro pelo β13. Considere o sólido compreendido entre o plano secante e o plano horizontal de projecção. Dados: 
– A (6; 4; 7) é um dos 4 vértices do tetraedro;
– uma das faces está contida no plano horizontal de projecção;
– a aresta de menor afastamento é fronto-horizontal.

SOMBRAS

Exercícios 45
Numa folha de formato A4 (ao alto), represente as projecções de um triângulo[RST].
Determine a sombra projectada, nos planos de projecção, pelo triângulo. 
Utilize a direcção luminosa convencional.
Dados:
– R (9; 2; 4); S (2; 14; 0); T (-3; 2; 10).

Exercícios 46
Represente as projecções de um cone oblíquosituado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção. 
Dados: 
– a sombra do cone no plano horizontal de projecção é um círculo com 4 cm de raio e tem centro no ponto C (-4; -2; 0); 
– a base do cone é tangente ao plano frontal de projecção e está contida num plano projectante frontal; 
– uma, e só uma, geratriz do cone tem a direcção da luz; 
– o vértice do cone pertence ao eixo x e tem abcissa superior à do ponto C

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS

Exercícios 47
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por um paralelepípedo rectângulo e por um prisma triangular recto. Todos os vértices têm coordenadas positivas. 
Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido. 
Sistema axonométrico: isometria 
Dados:
– cada sólido tem uma face contida no plano coordenado xy; 
– as bases do prisma triangular são triângulos rectângulos e estão contidas em planos de perfil; 
– o paralelepípedo tem duas faces frontais; – os pontos D (8; 4; 2) e E (0; 0; 2) são extremos de uma diagonal de uma das faces do paralelepípedo; 
– os pontos F (3; 4; 2) e G (0; 10; 0) são extremos de uma diagonal de uma das faces do prisma.

Exercícios 48
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por uma pirâmide triangular e por um prisma triangular regular. Todos os vértices têm coordenadas positivas. 
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. 
Sistema axonométrico: isometria 
Dados: 
– uma das bases do prisma está contida no plano coordenado xy; 
– as faces laterais do prisma são quadrados; 
– o segmento de recta [MN] é uma das arestas da base superior do prisma; 
– M tem 6 cm de abcissa e pertence ao plano coordenado xz; N tem 4 cm de afastamento;
– a base da pirâmide coincide com a base superior do prisma; 
– uma das faces laterais da pirâmide, [MNV], é equilátera e paralela ao plano axonométrico.

Exercícios 49
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas. O sólido fica situado no 1º triedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. 
Dados Sistema axonométrico: isometria 
Dados das pirâmides:
– o segmento de recta [MN] é uma aresta lateral comum às duas pirâmides, (4; 1; 0) e (4; 1; 8); 
– o ponto M é o vértice principal de uma das pirâmides e um dos vértices da base da outra pirâmide; 
– a aresta lateral [MN] é perpendicular às bases das pirâmides; 
– ambas as bases têm 4 cm de lado; 
– cada pirâmide tem uma face lateral paralela ao plano xz.. 
– a aresta de menor abcissa é uma das arestas de maior cota, do sólido composto.

Exercícios 50
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma quadrangular regular. O sólido fica situado no 1º triedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido. 
Dados 
Sistema axonométrico: anisometria – xÔz=125°; yÔz=115° 
Prisma quadrangular regular: 
– uma das bases está assente no plano xy; 
– uma das diagonais internas (espaciais) é perpendicular ao plano axonométrico e contém o vértice A (3; 3; 0); 
– as bases têm 5 cm de lado. 

AXONOMETRIAS OBLÍQUAS

Exercícios 51
Represente a projecção axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares. 
Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido. 
Sistema axonométrico: cavaleira;
– o eixo axonométrico x faz um ângulo de 155º com o eixo axonométrico z; Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda. 
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico. 
Dados
– um dos prisma é regular e tem uma face contida em cada um dos planos coordenados;
– R (3; 3; 7) é um vértice do prisma; 
– o outro prisma é oblíquo e tem as bases de perfil (paralelas ao plano coordenado yz); 
– o segmento de recta [RS] é uma das diagonais da base de menor abcissa; 
– S (3; 0; 4); 
– a diagonal interna (espacial) do prisma oblíquo que tem um dos extremos em R é projectante.

Exercícios 52
Construa uma representação axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por um prisma quadrangular oblíquo e por umprisma triangular regular
Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido. 
Sistema axonométrico: – militar (planométrica); – o eixo axonométrico x faz um ângulo de 125º com o eixo axonométrico z; 
– Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda. 
– as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico. 
Dados: 
– os pontos R (0; 8; 4) e S (4; 8; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma triangular; 
– este prisma tem uma face lateral contida no plano coordenado xy; 
– as bases do prisma quadrangular têm 4 cm de lado e são horizontais; 
– a aresta lateral de maior afastamento e de menor abcissa deste prisma pertence ao plano coordenado yz, faz um ângulo de 60º com o plano coordenado xy e o ponto R é o seu ponto médio. 
– a aresta de menor afastamento do sólido composto é paralela ao eixo x e tem cota nula.

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PARTE 2 de Exercícios resolvidos de Geometria Descritiva para os 10º e 11º anos são algumas de muitas fichas e atividades que pode encontrar no New Social para alunos do ensino secundário.

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