Geometria Descritiva 10º e 11º anos – Exercícios resolvidos PARTE 1

PARTE 1 de um conjunto de exercícios resolvidos, de Geometria Descritiva, para os 10º e 11º anos com enunciados de Elísio Silva e resoluções feitas pelas próprios alunos.

Exercícios de Geometria Descritiva 11º e 12º anos

Os exercícios foram apresentados como desafios, pelo que alguns apresentam um grau de dificuldade elevado, considerando que são dirigidos aos alunos do ensino secundário, encontrando-se diferenciados pelas seguintes matérias curriculares:

Nesta PARTE 1 teremos exercícios sobre o Plano, Intersecões, Figuras planas, Sólidos, Paralelismo e Perpendicularidade.

As resoluções propostas por alunos, encontram-se imediatamente abaixo do exercício, sob a forma de imagem.

Geometria Descritiva 10º e 11º anos – Exercícios resolvidos e Propostas de Resolução

PLANO

Exercícios 1
Representa os traços, nos planos de projeção, dos plano α θ.
Dados
– o plano α contém a reta p, de perfil, e o plano θ  contém a reta p’, também de perfil;
– a reta p é passante e passa pelo ponto P (-4; -6; -3);
– a reta p’ tem a mesma abcissa da reta p e o seu traço frontal tem cota positiva;
-as retas p p’ são paralelas e distam 5 cm entre si;
– o ponto C (5; 7; 3) é comum aos dois planos. 

Exercícios 2
Considera o plano α definidas pelas retas p p’, paralelas.
Representa os traços do plano α nos planos de projeção.
Representa, ainda, as projeções da reta pertencente ao plano α.
Dados
– a reta p é de perfil e está definida pelos pontosA (0; 6;3) e B (-3;11);
– a reta p’ contém o ponto (5; 10; -2);
– a reta r contém o ponto R, com -6 cm de abcissa e 7 cm de cota, e sua projeção frontal faz um ângulo de 15° (a.d.) com o eixo x.

Exercícios 3
Representa em dupla projeção ortogonal, sem recorrer a processos geométricos auxiliares, os traços nos planos de projeção do plano α
Dados 
– o plano está definido pelo ponto A (7; 7; -3) e pela reta p;
– a reta p é de perfil passante e contém o ponto P(0; 8; 4). 

Exercícios 4
Representa os traços nos planos de projeção dos planos θ α.
Dados
– os pontos A C pertencem a ambos os planos,B pertence ao plano α e D ao plano θ; – o traço frontal do plano α faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x e o traço horizontal do plano θ faz , também com este eixo, um ângulo de 60° (a.e.); 
– A tem – 7 cm de abcissa e 3 cm de cota; 
– B tem 4 cm de abcissa e pertence a ambos os planos de projecção; 
– C tem – 7 cm de abcissa e 2 cm de cota; 
– D (-2; 3; 2). 

Exercícios 5
Representa os traços, nos planos de projecção, dos planos α α’.
Dados 
– As rectas de maior inclinação i i’, respectivamente dos planos α α’, são concorrentes no ponto H (6; 6;0);
– os traços horizontais dos planos são coincidentes e intersectam o eixo x num ponto com -5 cm de abcissa;
– o traço frontal da recta i tem 4 cm de cota e abcissa positiva; 
– o traço frontal da recta  tem 5 cm de cota e abcissa negativa. 

Exercícios 6
Representa as projecções do ponto P, sabendo que tem 6 cm de cota e pertence aos planos α θ
Dados 
– o plano θ é de rampa e os seus traços têm 4 cm de cota e -4 cm de afastamento, respectivamente os traços frontal e horizontal. 
– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60° (a.e.) com o eixo x e coincide com o traço horizontal deste plano. 
– o plano α contém o ponto de coordenadas nulas. 

Exercícios 7
Representa os traços nos planos de projecção do pano α, sabendo que este plano está definido por duas rectas concorrentes, p e r.
Dados
– o ponto de concorrência pertence ao plano horizontal de projecção;
– a recta p é de perfil, tem -4 cm de abcissa e está contida no β13;
– as projecções da recta r fazem ângulos de 50º (a.e.) e de 20º (a.d.) com o eixo x, respectivamente a projecção frontal e a projecção horizontal.  

Exercícios 8
Determine as projecções de uma recta n de nível (horizontal) com 2 cm de cota e concorrente com as rectas de perfil p e p’,sem recorrer a processos geométricos auxiliares (rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção). 
Dados: 
– a recta p contém os pontos R (0; 0; 0) e S(7;8); – a recta p’ contém os pontos M (-4; 6; 1) e N (-2; 7). 

 

INTERSEÇÕES

Exercícios 9
Representa as projeções da reta i de interseção dos planos α ρ
Dados
– o plano α interseta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projeção, fazem ângulos de 65° (a.e.) e de 45° (a.d.) com o eixo x, respetivamente o traço horizontal e o traço frontal;
–  o traço horizontal do plano ρ é fronto-horizontal e tem 5 cm de afastamento.
–  a reta i contém o ponto P;
– o ponto P tem  -3 cm de abcissa e pertence ao bissetor dos diedros ímpares.

Exercícios 10
Representa as projeções da reta i de interseção dos planos α θ
Dados
– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60° (a.d.) com o eixo x e o traço frontal do plano θ faz, também com este eixo, um ângulo de 60° (a.e.); 
– o plano α contêm o ponto F (7; 0; -3) e o plano θcontém o H (-4; 3; 0); 
– as projeções da reta i fazem ângulos de 60° (a.d.) e de 60° (a.e.) com o eixo x, respetivamente a projeção frontal e a projeção horizontal.

Exercícios 11
Representa o lugar geométrico de intersecção de três planos – αβ, e θ.
Dados
 
– o plano α é ortogonal ao β24, intersecta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x;
– o plano β e ortogonal ao β13, intersecta o eixo x num ponto com -8 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x.
– o plano θ é de rampa e o seu traço horizontal tem 7 cm de afastamento; 
– o lugar geométrico de intersecção dos três planos tem 3 cm de cota. 

Exercícios 12
Represente as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano α.
Dados: 
– a recta r é paralela aos planos θ β13 e contém o ponto (-3; 7; 5); 
– o plano θ está definido por três pontos: A (-3; 5; 3), B (-3; -3; 8) e C (6; -3; -4); 
– o plano α é ortogonal à recta r e contém o ponto A.

FIGURAS PLANAS

Exercícios 13
Representa as projeções do retângulo [RSTU]pertencente ao plano vertical α.
Dados
– o plano α  interseta o eixo x num ponto -3 cm de abcissa e faz um diedro de 60° (a.d.) com o plano frontal de projeção;
– o vértice R tem 8 cm de cota e pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares;
– o vértice T tem 2 cm de cota e também pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares; 
– o vértice  S é o de menor  afastamento;
– os lados maiores têm o dobro do comprimento dos lados menores.

Exercícios 14
Representa as projecções de um rectângulo [ABCD] contido num plano projectante horizontal. 
Dados
– a diagonal [AC] é paralela ao plano horizontal de projecção e dista deste 3 cm. – um dos vértices do rectângulo pertence ao plano horizontal de projecção e tem afastamento superior ao centro deste polígono;
– A tem -2 cm de abcissa e um cm de afastamento, C tem -6 cm de abcissa e 8 cm de afastamento.

Exercícios 15
Determinar as projecções de um rectângulo [ABCD] contido num plano de rampa. 
Dados:
– o traço horizontal do plano tem 4 cm de afastamento; 
– a diagonal [AC] é de perfil, mede 8 cm e os vértices A C pertencem aos planos de projecção, respectivamente, plano horizontal e plano frontal; 
– B é o vértice mais à direita e tem menor cota do que o vértice D
– os lados maiores são duplos dos lados menores.

SÓLIDOS

Exercícios 16
Representa uma pirâmide hexagonal regular de base oblíqua e situada no 1º diedro. 
Dados 
– o vértice principal da pirâmide tem -3 cm de abcissa e 2 cm de afastamento; 
– duas arestas laterais, consecutivas, estão contidas no plano horizontal de projecção e fazem ângulos de 30° e 60° (ambos de abertura à esquerda) com o eixo x; 
– os lados da base medem 3 cm. 

Exercícios 17
Represente, em dupla projecção ortogonal, as projecções de uma pirâmide triangular oblíqua de base regular. 
Dados: 
– a base está contida num plano que faz ângulos iguais com os três planos de projecção (xy, xz e yz); 
– a circunferência circunscrita à base tem 3,5 cm de raio, o seu centro tem 4 cm de abcissa e este dista o mesmo em relação ao três planos de projecção (xy, xz e yz). 
– cada uma das arestas da base é ortogonal um dos eixos (x, y e z); 
– a base é visível nas três projecções;
– V (0; 1; 0).

Exercícios 18
Represente as projecções de uma pirâmide triangular regular. 
Dados: 
– a base está contida num plano oblíquo ortogonal ao β13;
– este plano intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com este eixo; 
– um dos vértices da base, o de maior cota, pertence ao plano frontal de projecção; 
– as arestas laterais formam ângulos de 70º com o plano da base; 
– V (4; 7; 8) é o vértice principal da pirâmide. 

Exercícios 19
Represente o contorno aparente de uma esfera, em ambas as projecções (projecção horizontal e projecção frontal). 
Dados: 
– a superfície esférica está definida por 4 pontos: A (2; 4; 3), B (-1; 3; 3), C (-3; 7; 3) e D (1; 8; 8).

Exercícios 20
Represente as projecções de um cubo, situado no 1º diedro. 
Dados: 
– [AC] é uma diagonal de uma das faces do cubo;
– A (4; 3; 2), C pertence ao plano frontal de projecção; 
– uma das diagonais internas (espaciais) do cubo [AG] é vertical; 
– o cubo tem 4 arestas de perfil.

Exercícios 21
Represente as projecções de umapirâmide pentagonal regular
Dados:
– a base está contida no plano oblíquo α; 
– o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projecção, fazem ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
– o lado de maior cota do pentágono é horizontal e o vértice que lhe é oposto pertence ao plano horizontal de projecção; 
– o vértice principal da pirâmide tem -4 cm de abcissa e pertence ao plano horizontal de projecção; 
– a pirâmide tem 4 cm de altura.

PARALELISMO

Exercícios 22
Representa os traços nos planos de projecção de três planos – αα´ α´´ – paralelos e equidistantes entre si.
Dados
– os traços frontais dos planos formam ângulos de 60° (a.e.) com eixo x e os seus traços horizontais formam ângulos inferiores a 45°(a.d.), também com o eixo x;
– cada plano contém um ponto: R (-1; 0; 6), S (-6; 5;6) e T (-2; 4; 2), respectivamente os planos αα´α´´.

Exercícios 23
Determine os traços dos planos α β, paralelos entre si. 
Dados: 
– o plano α contém a recta p definida pelos pontosA (0; -7; 7) e B (0; 6; -2); 
– o plano β contém os pontos R(0; 2; -2) e S (-5; -3; 3). 

Exercícios 24
Determine as projecções da recta rparalela ao plano α
Dados: 
– o plano α está definida por uma das suas rectas de maior inclinação – recta i
– a recta i está contida no β24, intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e a sua projecção frontal faz um ângulo de 50º com o eixo x (a.e.); 
– a recta r é paralela ao β13 e contém o ponto R (-2; 5; 4).

Exercícios 25
Determine os traços do plano de rampa θparalelo à recta de perfil psem recorrer a processos geométricos auxiliares (rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção).
Dados: 
– o plano θ contém o ponto P (-4; 3; 4);
– a recta de perfil p está definida pelos pontos A (2; -2; 1) e B (3; 3).

Exercícios 26
Determine as projecções da recta rparalela ao plano ω
Dados:
– o plano ω cruza o eixo num ponto com 3 cm de abcissa está definido pelos seus traços; 
– os traços fazem com o eixo x ângulos de 45º (a.d.) e de 70º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal; 
– a recta é concorrente com o eixo num ponto com -3 cm de abcissa e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.).

Exercícios 27
Determine os traços do plano ω paralelo ao plano θ
Dados: 
– o plano θ está definido pelas rectas r s;
– a recta r contém os pontos R (-4; -2; -3); S(2; 0; 0); 
– as projecções da recta são coincidentes com as projecções contrárias da recta r
– o plano ω contém o ponto P (-4; 2; 2).

Exercícios 28
Considere os planos ω oblíquo e θ de topo. Determine os traços do plano α paralelo à recta i de intersecção dos planos ω e θ
Dados:
– o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa; 
– os traços do plano ω fazem ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.) com o eixo x, respectivamente, o traço frontal e otraço horizontal; 
– o plano θ intersecta o eixo x num ponto com -8 cm de abcissa e faz um diedro de 30º (a.e.) com o plano horizontal de projecção; 
– o plano α contém o ponto P (-2; 0; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.d.) com o eixo x.

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PARTE 1 de Exercícios resolvidos de Geometria Descritiva para os 10º e 11º anos são algumas de muitas fichas e atividades que pode encontrar no New Social para alunos do ensino secundário.

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